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\begin{document}
\title{\"Uber die Integration der Differentialgleichung $\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}}$
\footnote{
Originaltitel: "'De Integratione Aequationis Differentialis $\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}}$"', erstmals publiziert in "`\textit{Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6} 1761, pp. 37-57"', Nachdruck in "`\textit{Opera Omnia}: Series 1, Volume 20, pp. 58 - 79 "', Eneström-Nummer E251, übersetzt von: Alexander Aycock, Textsatz: Artur Diener, (Korrektur: Janos Tien, Euler-Seminar, WS 2013/14) im Rahmen des Projektes "`Euler-Kreis Mainz"'}}
\author{Leonhard Euler}
\date{ }
\maketitle
\paragraph{§1}


Nachdem ich diese Gleichung zuerst bei der Gelegenheit der Funde des hochillustren Grafen  \textsc{Fagnano} betrachtet hatte, habe ich freilich eine Relation zwischen den Variablen $x$ und $y$ gefunden, welche dieser Gleichung Gen\"uge leistete; aber die Relation konnte nicht f\"ur die vollst\"andige Integralgleichung gehalten werden, deshalb weil sie keine beliebige konstante Gr\"o\ss e enthielt, von welcher Art immer eine durch die Integration eingef\"uhrt zu werden pflegt. Denn daher, wie es hinreichend bekannt ist, pflegen die Integrale in vollst\"andige und partikul\"are unterschieden zu werden, von welchen jene den ganzen Umfang der Differentialgleichungen aussch\"opfen, diese hingegen nur so Gen\"uge leisten, dass dar\"uber hinaus andere Ausdr\"ucke gleicherma\ss en Gen\"uge leisten k\"onnen. Das Kriterium einer vollst\"andigen Integralgleichung aber besteht darin, dass sie eine konstante Gr\"o\ss e involvieren muss, welche in der Differentialgleichung nicht auftritt.

\paragraph{§2}

Damit dies besser verstanden wird, wird es ausreichen, die einfachste Differentialgleichung $dx=dy$ betrachtet zu haben, welcher nat\"urlich diese Integralgleichung $x=y$ gen\"ugt; dennoch erstreckt sich diese Integralgleichung weniger weit als die Differentialgleichung $dx=dy$, weil dieser diese sich um vieles weiter erstreckende Integralgleichung $x=y\mp a$ gleicherma\ss en Gen\"uge leistet, indem f\"ur $a$ irgendeine konstante Gr\"o\ss e genommen wird, und erst diese Integralgleichung wird angesehen den ganzen Umfang der Differentialgleichung $dx=dy$ zu erfassen, woher die Gleichung auch die vollst\"andige Integralgleichung genannt wird, deshalb weil in ihr die konstante Gr\"o\ss e $a$ enthalten ist, welche in der Differentialgleichung nicht auftaucht. Wenn daher nun aber anstelle dieser unbestimmten Konstante $a$ bestimmte Werte eingesetzt werden, werden aus dem vollst\"andigen Integral partikul\"are Integrale erthalten, welche sich dieses Grundes wegen weniger weit erstrecken als die vorgelegte Differentialgleichung.

\paragraph{§3}

Oftmals kann aber ein algebraisches partikul\"ares Integral einer Differentialgleichung dargeboten werden, obgleich das vollst\"andige Integral transzendent ist; dies passiert nat\"urlich, wenn der transzendente Anteil mit jener beliebigen Konstante multipliziert worden ist, welcher deshalb, nachdem jene Konstante gleich Null gesetzt worden ist, aus der Rechnung verschwindet und ein algebraisches partikul\"ares Integral zur\"uckl\"asst. So ist es offenbar, dass dieser Differentialgleichung $dy=dx+(y-x)dx$ der Wert $y=x$ Gen\"uge leistet, in welchem dennoch nur ein partikul\"ares Integrale enthalten ist, weil das vollst\"andige Integral $y=x+ae^x$ ist, w\"ahrend $e$ die Zahl bezeichnet, deren Logarithmus $=1$ ist. Wenn also jene beliebige Konstante $a$ nicht verschwindend festgelegt wird, wird das Integral immer transzendent sein.

\paragraph{§4}

Weil es also passieren kann, dass die Differentialgleichung ein algebraisches partikul\"ares Integral zul\"asst, auch wenn das vollst\"andige Integral transzendent ist, so mangelt es dennoch nicht an Gr\"unden zu glauben, dass das vollst\"andige Integral der vorgelegten Differentialgleichung

\[
\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}}
\]
transzendente Gr\"o\ss en erh\"alt, auch wenn es m\"oglich gewesen war, f\"ur sie ein algebraisches partikul\"ares Integral darzubieten. Weil n\"amlich das vollst\"andige Integral dieses ist

\[
m \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=n \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}+C,
\]
aber diese Integrale auf keine Weise, weder durch Zuhilfenahme der Quadratur des Kreises noch der der Hyperbel, angegeben werden k\"onnen, scheint es keineswegs wahrscheinlich, dass diese derma\ss en transzendenten Formeln im Allgemeinen, so dass die Konstante $C$ unbestimmt bleibt, auf eine algebraische Relation zwischen $x$ und $y$ zur\"uckgef\"uhrt werden k\"onnen.

\paragraph{§5}

Es ist freilich bekannt, dass das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{mdx}{\sqrt{1-xx}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-yy}}
\]
immer algebraisch dargeboten werden kann, solange das Verh\"altnis der Koeffizienten $m$ und $n$ rational war; aber weil das Integral jeder der beiden Formeln einen Kreisbogen anzeigt, so dass das vollst\"andige Integral $m \arcsin x= n \arcsin y +C$ ist, aber die Relation der Sinus, die  sich auf Bogen, die in einem rationalen Verh\"altnis zueinander stehen, beziehen, algebraisch ausgedr\"uckt werden kann, ist es nicht verwunderlich, dass die vollst\"andige Integralgleichung in diesen F\"allen auch algebraisch ausgedr\"uckt werden kann. Weil aber ein Vergleich von dieser Art bei den transzendenten Formeln $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ und $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}$ keine Geltung hat oder zumindest nicht bekannt ist, wird die Reduktion des Integrals auf algebraische Gr\"o\ss en daher nicht entnommen werden k\"onnen.

\paragraph{§6}

Nichtsdestoweniger habe ich beobachtet, wenn eine Differentialgleichung von dieser Art vorgelegt war

\[
\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}},
\]
dass auch das vollst\"andige Integral, welches nat\"urlich eine beliebige konstante Gr\"o\ss e involviert, immer algebraisch ausgedr\"uckt werden kann, solange das Verh\"altnis $m:n$ rational war; ich halte es dabei f\"ur umso bemerkenswerter, dass ich mit keiner bestimmten Methode zu diesem Integral gef\"uhrt worden bin, sondern es eher durch Raten und Probieren gefunden habe. Daher besteht kein Zweifel, dass eine direkte zu diesem selben Integral f\"uhrende Methode die Grenzen der Analysis nicht unwesentlich erweitern wird; deshalb scheint deren Untersuchung den Analytikern mit ganzen Eifer mitzuteilen zu sein.

\paragraph{§7}

Es ist mir aber m\"oglich gewesen das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung, wie auch immer das rationale Verh\"altnis der Koeffizienten $m$ und $n$ beschaffen war, aus der vollst\"andigen Integration dieser Gleichung zu derivieren

\[
\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}};
\]
nachdem diese n\"amlich erledigt worden ist, werde ich eine bestimmte Methode aufzeigen, aus ihr auch das vollst\"andige Integral dieser sich um vieles weiter erstreckenden Gleichung

\[
\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}}
\]
zu folgern. Diese Methode kann auch im Allgemeinen, um die Integrale der Gleichungen $mXdx=nYdy$ zu finden, verwendet werden, wenn nur das vollst\"andige Integral von dieser $Xdx=Ydy$ gefunden worden ist und $Y$ eine solche Funktion von $y$ bedeutet, wie $X$ eine von $x$ ist.

\paragraph{§8}

Ich m\"ochte also von dieser Gleichung aus beginnen

\[
\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}},
\]
von welcher auf den ersten Blick klar ist, dass ihr die Gleichung $x=y$ Gen\"uge leistet, welche deshalb ein partikul\"ares Integral von ihr ist. Dann gen\"ugt derselben Gleichung auch dieser algebraische Wert

\[
x=-\sqrt{\frac{1-yy}{1+yy}};
\]
weil n\"amlich ist

\[
dx=+\frac{2ydy}{(1+yy)\sqrt{(1-yy)(1+yy)}} \quad \text{und} \quad \sqrt{1-x^4}=\frac{2y}{1+yy},
\]
wird sein

\[
\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}.
\]
Daher ist auch dieser Wert oder die Gleichung $xxyy+xx+yy-1=0$ ein partikul\"ares Integral der vorgelegten Differentialgleichung. Daher ist es notwendig, dass das vollst\"andige Integral, welches eine beliebige Konstante involviert, so beschaffen ist, dass, indem dieser Konstante ein bestimmter Wert zugeteilt wird, hervorgeht

\[
x=y,
\]
wenn aber derselben Konstante ein bestimmter anderer Wert zugeteilt, dass hervorgeht

\[
x=-\sqrt{\frac{1-yy}{1+yy}} \quad \text{oder} \quad xxyy+xx+yy-1=0.
\]

\section*{Lehrsatz}

\paragraph{§9}

Ich sage also, dass die vollst\"andige Integralgleichung dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}
\]
diese ist

\[
xx+yy+ccxxyy=cc+2xy\sqrt{1-c^4}.
\]

\subsection*{Beweis}

Nachdem n\"amlich diese Gleichung festgelegt worden ist, wird ihr Differential sein

\[
xdx+ydy+ccxy(xdy+ydx)=(xdy+ydx)\sqrt{1-c^4},
\]
woher wird

\[
dx(x+ccxyy-y\sqrt{1-c^4})+dy(y+ccxxy-x\sqrt{1-c^4})=0.
\]
Aus derselben Gleichung wird aber nach ihrer Aufl\"osung erschlossen

\[
y=\frac{x\sqrt{1-c^4}+c\sqrt{1-x^4}}{1+ccxx} \quad \text{und} \quad x=\frac{y\sqrt{1-c^4}-c\sqrt{1-y^4}}{1+ccyy}.
\]
Wenn n\"amlich dort der Wurzel $\sqrt{1-x^4}$ das Vorzeichen $+$ zugeteilt wird, muss hier hingegen der Wurzel $\sqrt{1-y^4}$ das Vorzeichen $-$ zugeteilt werden, dass nach Setzen von $x=0$ auf beiden Seiten derselbe Wert $y=c$ hervorgeht. Es wird also sein

\begin{alignat*}{9}
&x&&+ccxyy&&-y\sqrt{1-c^4}&&=- &&c\sqrt{1-y^4},\\
&y&&+ccxxy&&-x\sqrt{1-c^4}&&= &&c\sqrt{1-x^4},
\end{alignat*}
nach Einsetzen welcher Werte in der Differentialgleichung hervorgeht

\[
-cdx\sqrt{1-y^4}+cdy\sqrt{1-x^4}=0
\]
oder

\[
\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}.
\]
Das Integral dieser Differentialgleichung ist also

\[
xx+yy+ccxxyy=cc+2xy\sqrt{1-c^4},
\]
und weil es die von unserem Belieben abh\"angende Konstante $c$ enth\"alt, wird sie zugleich das vollst\"andige Integral sein. Q. E. D.

\paragraph{§10}

Wenn man also diese Gleichung $\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}$ hat, ist der vollst\"andige Integralwert von $x$

\[
x=\frac{y\sqrt{1-c^4}\pm c\sqrt{1-y^4}}{1+ccyy},
\]
woher, wenn die beliebige Konstante $c$ verschwindet, wird $x=y$; wenn aber $c=1$ gesetzt wird, haben wir $x=\pm\frac{\sqrt{1-y^4}}{1+yy}=\sqrt{\frac{1-yy}{1+yy}}$, welche jene beiden schon oben dargebotenen partikul\"aren Werte sind. Daher werden andere in Bezug auf die \"ubrigen einfachere partikul\"are Werte gefunden, die aber zu imagin\"aren Gr\"o\ss en gef\"uhrt werden. So wird nach Setzen von $c=\infty$

\[
x=\frac{\sqrt{-1}}{y}
\]
und Setzen von $cc=-1$ wird

\[
x=\sqrt{\frac{yy+1}{yy-1}},
\]
welche beiden der vorgelegten Gleichung ebenso Gen\"uge leisten.

\paragraph{§11}

Um aber die Beschaffenheit dieses Integrals besser zu verstehen, werde die Kurve $AM$ (Fig. $1$) aufgefasst, deren Gestalt diese ist, dass, nachdem die Abszisse $AP=u$ gesetzt worden ist, der Bogen,

\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
	\begin{center}
	\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\input{./Fig1.pdf_t}}\\
	\textsc{Fig. 1}
	\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
	\begin{center}
	\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\input{./Fig2.pdf_t}}\\
	\textsc{Fig. 2}
	\end{center}
\end{minipage}\\[1em]
der ihr entspricht, $AM=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ ist. Des Weiteren werde, nachdem dieselbe Kurve (Fig. $2$) beschrieben worden ist, die Abszisse $ap=x$ genommen; der Bogen wird $am=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ sein. Also wird nach Nehmen von

\[
x=\frac{u\sqrt{1-c^4}\pm c\sqrt{1-u^4}}{1+ccuu}
\]
$\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}= \frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ und daher $\text{arc. }am =\text{arc. }AM+$Konst. werden. Aber f\"ur die Bestimmung dieser Konstante wird nach Setzen von $u=0$, in welchem Fall der Bogen $AM$ verschwindet, $x=c$. Daher, wenn die Abszisse $ab=c$ genommen wird, welcher der Bogen $ad$ entspricht, wird der Bogen $dm=$ dem Bogen $AM$ sein.

\paragraph{§12}

Mit Hilfe der vollst\"andigen Integration der Gleichung $\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ wird also in der vorgelegten Kurve ein irgendeinem Bogen $AM$, der der Abszisse $AP=u$ entspricht, gleicher Bogen $dm$, der vom gegebenen Punkt $d$ beginnt, abgetrennt werden k\"onnen. Wenn n\"amlich, nachdem die dem gegebenen Punkt $d$  entsprechende Abszisse $ab=c$ gesetzt worden ist, diese Abszisse genommen wird

\[
ap=x=\frac{c\sqrt{1-u^4}+u\sqrt{1-c^4}}{1+ccuu},
\]
wird der Bogen $dm$ dem Bogen $AM$ gleich sein. Weil es aber auf die gleiche Weise m\"oglich ist, $\sqrt{1-c^4}$ negativ festzulegen, wenn diese Abszisse genommen wird

\[
a \pi =\frac{c\sqrt{1-u^4}-u\sqrt{1-c^4}}{1+ccuu},
\]
wird ebenso der Bogen $d\mu$ dem Bogen $AM$ gleich sein und so k\"onnen auf dieser Kurve von einem gegeben Punkt $d$ nach beiden Seiten hin die Bogen $dm$ und $d\mu$ abgetrennt werden, welche dem Bogen $AM$ gleich sind.

\paragraph{§13}

Daher tritt es also klar zutage, wenn der Bogen $ad$ dem Bogen $AM$ gleich oder $c=u$ genommen wird, dass der Bogen $am$ das Doppelte des Bogens $AM$ sein wird. Daher, wenn $ap=x=\frac{2u \sqrt{1-u^4}}{1+u^4}$ gesetzt wird, wird der Bogen $am =2~\text{arc. }AM$ hervorgehen. Wenn auf die gleiche Weise der Bogen $ad=2AM$ oder $c=\frac{2u \sqrt{1-u^4}}{1+u^4}$ genommen wird und $x=\frac{c\sqrt{1-u^4}+u\sqrt{1-c^4}}{1+ccuu}$ gesetzt wird, wird der Bogen $am =3~ \text{arc. }AM$ erhalten werden. Und wenn dieser Wert von $x$ erneut f\"ur $c$ eingesetzt wird, dass $ad=3AM$ ist, und wiederum $x=\frac{c\sqrt{1-u^4}+u\sqrt{1-c^4}}{1+ccuu}$ gesetzt wird, wird der Bogen $am$ als der vierfache Bogen $AM$ entsprie\ss en; und so werden immer weiter irgendwelche Vielfachen des Bogen $AM$ geometrisch angegeben werden K\"onnen.

\paragraph{§14}

Es sei der Bogen $ad= n \cdot AM$ und $ab=z$, so dass ist

\[
\int \frac{dz}{\sqrt{1-z^4}}=n \int \frac{du}{\sqrt{1-u^4}};
\]
und aus diesen tritt es klar zu tage, wenn genommen wird

\[
x=\frac{z\sqrt{1-u^4}+u\sqrt{1-z^4}}{1+uuzz},
\]
dass sein wird

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=(n+1) \int \frac{du}{\sqrt{1-u^4}},
\]
wenn aber festgelegt wird

\[
x= \frac{z\sqrt{1-u^4}-u\sqrt{1-z^4}}{1+uuzz},
\]
dass dann sein wird

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=(n-1) \int \frac{du}{\sqrt{1-u^4}}.
\]
Wenn also diese Gleichung $\frac{dz}{\sqrt{1-z^4}}=\frac{ndu}{\sqrt{1-u^4}}$ integriert worden ist und daraus dann der entsprechende Wert f\"ur $z$ gefunden worden ist, wird auch diese Gleichung $\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}= \frac{(n+1)du}{\sqrt{1-u^4}}$ integriert werden k\"onnen, deren Integral nat\"urlich $x=\frac{z\sqrt{1-u^4}\pm u u \sqrt{1-z^4}}{1+uuzz}$ sein wird. Aber wenn f\"ur $z$ sein vollst\"andiger Wert eingesetzt worden ist, der nat\"urlich eine beliebige Konstante involviert, wird auch f\"ur $x$ sein vollst\"andiger Wert hervorgehen.

\paragraph{§15}

Daher ist es also klar, auf welche Weise die vollst\"andige Integralgleichung gefunden werden muss, die dieser Differentialgleichung $\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndu}{\sqrt{1-u^4}}$ zukommt, sooft $n$ eine ganze Zahl war. Auf die gleiche Weise wird aber ein $y$ angegeben werden k\"onnen, dass $\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}= \frac{m du}{\sqrt{1-u^4}}$ ist; daher, wenn durch Eliminieren von $u$ eine Gleichung zwischen $x$ und $y$ gesucht wird, wird sie die Integralgleichung dieser Gleichung $\frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}}$ sein, welche rationalen Zahlen auch immer f\"ur $m$ und $n$ eingesetzt werden; und damit dieses Integral auch als ein vollst\"andiges hervorgeht, reicht es aus, nur f\"ur die eine der Variablen $x$ und $y$ den vollst\"andigen Wert durch $u$ bestimmt zu haben, weil daher schon eine neue beliebige Konstante in die Rechnung eingef\"uhrt wird.

\paragraph{§16}

Aber die Methode, die wir hier beim Beweis des Lehrsatzes gebraucht haben, auch wenn sie nicht aus der Natur der Sache entnommen worden ist, sondern indirekt zu dem, was vorgelegt worden war, gef\"uhrt hat, erstreckt sich dennoch um vieles weiter; denn auf die gleiche Weise wird erschlossen, dass das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{1+mxx+nx^4}}=\frac{dy}{\sqrt{1+myy+ny^4}}
\]
dieses ist

\[
0=cc-xx-yy+nccxxyy+2xy \sqrt{1+mcc+nc^4}.
\]
Daher, indem dieselbe Schlussweise wie zuvor verwendet wird, wird auch das vollst\"andige Integral dieser Gleichung erhalten werden

\[
\frac{\mu dx}{\sqrt{1+mxx+nx^4}}= \frac{\nu dy}{\sqrt{1+myy+ny^4}},
\]
wenn freilich mit den Buchstaben $\mu$ und $\nu$ ganze Zahlen bezeichnet werden.

\paragraph{§17}

Aber die Untersuchung dieser Integration verh\"alt sich so: Es werde zun\"achst nach Belieben eine in dieser Gleichung enthaltende Relation zwischen den Variablen $x$ und $y$ angesetzt

\[
(1) \quad \alpha xx+\alpha yy= 2 \beta xy+\gamma xxyy+\delta,
\]
welche differenziert gibt

\[
\alpha xdx+\alpha ydy =\beta xdy+\beta y dx+ \gamma x yydx+\gamma xx ydy,
\]
woher dann errechnet wird

\[
(2) \quad dx(\alpha x-\beta y- \gamma x yy)+dy(\alpha y -\beta x-\gamma xx y)=0.
\]
Darauf werden aus der Gleichung $(1)$ die Werte jeder der beiden Variablen gesucht

\begin{alignat*}{9}
&x&&= \frac{\beta y+\sqrt{\alpha \delta+(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)yy+\alpha \gamma y^4}}{\alpha -\gamma yy}, \\[2mm]
&y&&= \frac{\beta x-\sqrt{\alpha \delta+(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)xx+\alpha \gamma x^4}}{\alpha -\gamma xx}.
\end{alignat*}
Und daher werden wir erhalten

\[
(3) \quad \alpha x-\beta y-\gamma x yy= \sqrt{\alpha \delta +(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)yy+\alpha \gamma y^4},
\]
\[
(4) \quad \alpha y-\beta x-\gamma xx y= -\sqrt{\alpha \delta +(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)xx+\alpha \gamma x^4},
\]
welche Werte in Gleichung $(2)$ eingesetzt liefern werden

\[
(5) \quad \frac{dx}{\sqrt{\alpha \delta+(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)xx+\alpha \gamma x^4}}= \frac{dy}{\sqrt{\alpha \delta +(\beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta)yy+\alpha \gamma y^4}},
\]
deren Integral also Gleichung $(1)$ ist.

\paragraph{§18}

Um aber diese Formeln zu vereinfachen, wollen wir festlegen

\[
\alpha \delta = A, \quad \beta \beta -\alpha \alpha -\gamma \delta =C, \quad \alpha \gamma =E
\]
und es wird sein

\[
\delta =\frac{A}{\alpha}, \quad \gamma = \frac{E}{\alpha} \quad \text{und} \quad \beta =\sqrt{C+\alpha \alpha +\frac{AE}{\alpha \alpha}}.
\]
Daher ist die Integralgleichung dieser Differentialgleichung

\[
(6) \quad \frac{dx}{\sqrt{A+Cxx+Ex^4}}= \frac{dy}{\sqrt{A+Cyy+Ey^4}}
\]
diese

\[
(7) \quad \alpha (xx+yy)=\frac{A}{\alpha}+\frac{E}{\alpha} xxyy+2xy \sqrt{C+\alpha \alpha +\frac{AE}{\alpha \alpha}},
\]
welche zugleich das vollst\"andige Integral ist.

\paragraph{§19}

Oder wir wollen festlegen

\[
A=f \alpha \alpha, \quad C=g \alpha \alpha \quad \text{und} \quad E=h \alpha \alpha,
\]
dass wir diese Differentialgleichung haben

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gxx+hx^4}}= \frac{dy}{\sqrt{f+gyy+hy^4}},
\]
deren vollst\"andige Integralgleichung deshalb sein wird

\[
xx+yy=f+hxxyy+2xy\sqrt{1+g+fh};
\]
auch wenn diese keine neue Konstante zu involvieren scheint, ist sie dennoch vollst\"andig, weil in der Differentialgleichung nur das Verh\"altnis der Gr\"o\ss en $f$, $g$ und $h$ betrachtet wird, so dass sich hier f\"ur $f$, $g$ und $h$ $fcc$, $gcc$ und $hcc$ schreiben l\"asst, woher die vollst\"andige Integralgleichung offenbar hervorgeht als

\[
xx+yy=fcc+hccxxyy+2xy\sqrt{1+gcc+fhc^4}
\]
oder
\[
f(xx+yy)=fee+heexxyy+2xy\sqrt{f(f+gee+he^4)},
\]
nachdem $cc=\frac{ee}{f}$ gesetzt ist.

\paragraph{§20}

Wenn daher also diese Differentialgleichung vorgelegt ist

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gxx+hx^4}}=\frac{dy}{\sqrt{f+gyy+hy^4}},
\]
wird der Wert von $y$ mit einer algebraischen Funktion von $x$ ausgedr\"uckt werden k\"onnen, so dass ist

\[
y= \frac{x\sqrt{1+gcc+fhc^4}\pm c\sqrt{1+gxx+fhx^4}}{1-hccxx}
\]
oder

\[
y= \frac{x\sqrt{f(1+gee+he^4)}\pm e\sqrt{f(1+gxx+hx^4)}}{f-heexx}.
\]

Wenn daher also $g=0$ wird, dass man diese Differentialgleichung hat

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+hx^4}}=\frac{dy}{\sqrt{f+hy^4}},
\]
wird der vollst\"andige Integralwert von $y$ dieser sein

\[
y=\frac{x\sqrt{f(f+he^4)}\pm e\sqrt{f(f+hx^4)}}{f-heexx},
\]
woher, indem die Konstante $e$ nach Belieben bestimmt wird, unz\"ahlige partikul\"are Werte f\"ur $y$ abgeleitet werden k\"onnen.

\paragraph{§21}

Aber mit Hilfe der Methode, die ich oben gebraucht habe, wird auch das vollst\"andige Integral dieser Gleichung

\[
\frac{mdx}{\sqrt{f+gxx+hx^4}}=\frac{ndy}{\sqrt{f+gyy+hy^4}},
\]
wenn nur $m$ und $n$ rationale Zahlen sind, und das freilich algebraisch dargeboten werden k\"onnen.

\paragraph{§22}

So sind die Variablen $x$ und $y$ in der oben angenommenen Gleichung als miteinander vertauschbar festgelegt worden, dass die beiden Formeln einander gleich wurden, so dass wir nach Weglassen dieser Einschr\"ankung zu einem Vergleich ungleicher Differentialformeln gelangen werden. Wir wollen also festlegen

\[
(1) \quad \alpha xx+\beta yy= 2 \gamma xy+\delta xx yy+\varepsilon,
\]
woher wird

\[
x= \frac{\gamma y+\sqrt{\alpha \varepsilon +(\gamma \gamma -\delta \varepsilon -\alpha \varepsilon)yy+\beta \delta y^4}}{\alpha -\delta yy}
\]
und

\[
y= \frac{\gamma x-\sqrt{\beta \varepsilon +(\gamma \gamma -\delta \varepsilon -\alpha \varepsilon)xx+\alpha \delta x^4}}{\beta -\delta xx}
\]
und daher

\[
(2) \quad \alpha x-\gamma y-\delta xyy= \sqrt{\alpha \varepsilon +(\gamma \gamma -\delta \varepsilon -\alpha \beta)yy+\beta \delta y^4},
\]
\[
(3) \quad \beta y-\gamma x-\delta xxy= -\sqrt{\beta \varepsilon +(\gamma \gamma -\delta \varepsilon -\alpha \beta)xx+\beta \delta x^4};
\]
aber Gleichung $(1)$ gibt differenziert

\[
dx(\alpha x-\gamma y-\delta xyy)+dy(\beta y-\gamma x-\delta xx y)=0,
\]
deren Integral deshalb die angenommene Gleichung ist.

\paragraph{§23}

Aber diese Ungleichheit wird leicht beseitigt, indem $z\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ anstelle von $y$ gesetzt wird, die Begr\"undung welcher Sache sofort aus der angenommenen Gleichung h\"atte klar sein k\"onnen. Aber es steht ein anderer Weg offen, zu ungleichen Formeln zu gelangen, wovon es gen\"ugt, hier ein Beispiel gegeben zu haben. Es werde angenommen

\[
x^4+2axxyy+2bxx=c,
\]
deren Differential dieses ist

\[
dx(x^3+axyy+bx)+axxydy=0
\]
oder

\[
\frac{dx}{xy}=\frac{-ady}{xx+ayy+b}.
\]
Nun werde aus der angenommenen Gleichung zuerst $x$ durch $xy$ bestimmt und so wird werden

\[
xy=\sqrt{\frac{c-2bxx-x^4}{2a}},
\]
dann aber $xx+ayy+b$ durch $y$; aber wegen $(xx+ayy+b)^2=c+(ayy+b)^2$ wird sein

\[
xx+ayy+b=\sqrt{c+(ayy+b)^2}.
\]
Deshalb wird man diese Differentialgleichung haben

\[
\frac{dx \sqrt{2a}}{\sqrt{c-2bxx-x^4}}= \frac{-ady}{\sqrt{c+bb+2abyy+aay^4}},
\]
deren Integral die angenommene Gleichung oder $y=\frac{\sqrt{c-2bxx-x^4}}{x\sqrt{2a}}$ ist.

\paragraph{§24}

Auch wenn dieses Integral nicht vollst\"andig ist, wird es dennoch mit den oberen Bemerkungen leicht zu einem vollst\"andigen gemacht werden. Es werde n\"amlich festgelegt

\[
\frac{ady}{\sqrt{c+bb+2abyy+aay^4}}= \frac{adz}{\sqrt{c+bb+2abzz+aaz^4}};
\]
wegen $f=c+bb$, $g=2ab$, $h=aa$ wird sein

\[
y=\frac{z\sqrt{(c+bb)(c+bb+2abee+aae^4)}\pm e\sqrt{(c+bb)(c+bb+2abzz+aaz^4)}}{c+bb-aaeezz};
\]
dieser Wert werde also $\frac{\sqrt{c-2bxx-x^4}}{x\sqrt{2a}}$ gleich gesetzt und die daraus zwischen $x$ und $z$ resultierende Gleichung wird das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung sein

\[
\frac{dx\sqrt{2a}}{\sqrt{c-2bxx-x^4}}=\frac{-adz}{\sqrt{c+bb+2abzz+aaz^4}}.
\]
Ja es tritt sogar aus den oben erw\"ahnten Dingen klar zu tage, wenn diese zwei Seiten dar\"uber hinaus mit irgendwelchen rationalen Zahlen multipliziert werden, wie dann das vollst\"andige Integral gefunden werden muss.

\paragraph{§25}

Aber, nachdem die Ungleichheit der beiden Seiten nun damit abgehandelt worden ist, wollen wir die Bildung der gleichen Seiten allgemeiner auffassen; es werde also festgelegt

\[
(1) \quad 0=\alpha+2\beta (x+y)+\gamma(xx+yy)+2\delta xy+2 \varepsilon xy(x+y)+\zeta xxyy,
\]
woher durch Differenzieren erhalten wird

\[
dx(\beta +\gamma x+\delta y+2 \varepsilon xy+\varepsilon yy+\zeta xyy)+dy(\beta +\gamma y+\delta x+2 \varepsilon xy +\varepsilon xx+\zeta xxy)=0
\]
und daher

\[
(2) \quad \frac{dy}{\beta +\gamma x+\delta y+2 \varepsilon xy+ \varepsilon yy+\zeta xyy}= \frac{-dx}{\beta +\gamma y+\delta x+2 \varepsilon xy+\varepsilon xx+\zeta xx y}.
\]
Aus der Aufl\"osung der angenommenen Gleichung wird aber gefunden
{\tiny
\[
y=-\frac{-\beta-\delta x-\varepsilon xx \pm \sqrt{\beta \beta - \delta \gamma + 2 (\beta \delta - \alpha \varepsilon - \beta \gamma) x + (\delta \delta - \gamma \gamma - \alpha \xi - 2 \beta \varepsilon)xx + 2 (\delta \varepsilon - \beta \xi - \gamma \varepsilon)x^3+ (\varepsilon \varepsilon - \gamma \xi)x^4}}{\gamma +2 \varepsilon x+\zeta xx}
\]}
Es werde der K\"urze wegen festgelegt

\begin{alignat*}{9}
& \beta \beta &&-\alpha \gamma &&=A, \quad && \beta \delta &&-\alpha \varepsilon &&-\beta \gamma &&=B, && \\
& && && && && && && &&\quad \delta \delta -\gamma \gamma -\alpha \zeta -2 \beta \varepsilon = C\\
&\varepsilon \varepsilon &&-\gamma \zeta &&=E, \quad && \delta \varepsilon &&-\beta \zeta &&-\gamma \varepsilon &&=D,
\end{alignat*}
und es wird sein

\begin{alignat*}{9}
&\beta &&+\delta x&&+\varepsilon xx&&+\gamma y&&+2 \varepsilon xy &&+\zeta xxy&&=\pm \sqrt{A+2Bx+Cxx+2Dx^3+Ex^4},\\
&\beta &&+\delta y&&+\varepsilon yy&&+\gamma x&&+2 \varepsilon xy &&+\zeta xyy&&=\mp \sqrt{A+2By+Cyy+2Dy^3+Ey^4}.
\end{alignat*}

\paragraph{§26}

Daher schlie\ss en wir deshalb, dass die Integralgleichung dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{A+2Bx+Cxx+2Dx^3+Ex^4}}=\frac{dy}{\sqrt{A+2By+Cyy+2Dy^3+Ey^4}}
\]
und zwar die vollst\"andige diese ist

\[
0=\alpha +2\beta(x+y)+\gamma(xx+yy)+2\delta xy+2 \varepsilon xy(x+y)+\zeta xxyy,
\]
nat\"urlich unter Verwendung der oberen Bestimmung dieser Koeffizienten. Als erstes werde aber $\beta$ oder $\varepsilon$ aus dieser Gleichung bestimmt

\[
\frac{BB(\varepsilon \varepsilon -E)-DD(\beta \beta -A)}{A\varepsilon \varepsilon -E\beta \beta}+\frac{2AD\varepsilon -2BE\beta}{B \varepsilon -D \beta}=C;
\]
dann wird aber sein

\[
\gamma = \frac{A\varepsilon\varepsilon -E \beta \beta}{B \varepsilon -D \beta}, \quad \alpha=\frac{\beta \beta -A}{\gamma}, \quad \zeta = \frac{\varepsilon \varepsilon -E}{\gamma}
\]
und

\[
\delta = \frac{B \beta (\varepsilon \varepsilon-E)-D \varepsilon(\beta \beta -A)}{A \varepsilon \varepsilon -E \beta \beta}+\gamma \quad \text{oder} \quad \delta=\gamma +\frac{B+\alpha \varepsilon}{\beta}.
\]

\paragraph{§27}

Daher ist es also klar, dass auch die Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{A+2Dx^3}}=\frac{dy}{\sqrt{A+2Dy^3}}
\]
integriert werden kann; denn wegen $B=0$, $C=0$ und $E=0$ wird sein

\[
\frac{-DD(\beta \beta -A)}{A \varepsilon \varepsilon}-\frac{2 A \varepsilon}{\beta}=0 \quad \text{oder} \quad \varepsilon = \sqrt[3]{\frac{DD}{2AA}\beta (A-\beta \beta)},
\]
aber daher gehen allzu komplizierte Werte hervor. Die Aufgabe wird aber leichter bew\"altigt werden, indem die Werte der verschwindenden Buchstaben $B$, $C$ und $E$ aufgel\"ost werden; denn

\[
E=0 \quad \text{gibt} \quad \zeta =\frac{\varepsilon \varepsilon}{\gamma}; \quad \text{dann gibt} \quad B=0 \quad \text{dies} \quad \delta =\gamma +\frac{\alpha \varepsilon}{\beta}
\]
und

\[
C=0 \quad \text{gibt} \quad \delta \delta -\gamma \gamma = \alpha \zeta +2\beta \varepsilon =\frac{\alpha \varepsilon \varepsilon}{\gamma}+2 \beta \varepsilon =\frac{\alpha^2 \varepsilon \varepsilon}{\beta \beta}+\frac{2 \alpha \gamma \varepsilon}{\beta},
\]
deren Faktoren $\beta \beta =\alpha \gamma $ und $\alpha \varepsilon \varepsilon +2 \beta \gamma \varepsilon =0$ sind. Aber wenn $\beta \beta =\alpha \gamma$ w\"are, w\"are $A=0$; wenn aber $\varepsilon =0$ w\"are, w\"are sowohl $\zeta =0$ als auch $D=0$, also wider dem Ziel. Es muss also $\alpha \varepsilon =-2\beta \gamma$ werden; daher wird werden

\[
\alpha =-\frac{2 \beta \gamma}{\varepsilon}, \quad \delta =-\gamma \quad \text{und} \quad \zeta = \frac{\varepsilon \varepsilon}{\gamma}.
\]
Schlie\ss lich muss werden

\[
\beta \beta +\frac{2 \beta \gamma \gamma}{\varepsilon}=A \quad \text{und} \quad -2 \gamma \varepsilon-\frac{\beta \varepsilon \varepsilon}{\gamma}=D.
\]
Daher wird $\varepsilon =\frac{2 \beta \gamma \gamma}{A-\beta \beta}$ und wegen $\frac{\gamma D}{\varepsilon}=-(2\gamma \gamma +\beta \varepsilon)$ und $2 \gamma \gamma +\beta \varepsilon =\frac{A \varepsilon}{\beta}$ $\frac{\gamma D}{\varepsilon}=-\frac{A \varepsilon}{\beta}$ und daher $\varepsilon \varepsilon =-\frac{\beta \gamma D}{A}$ sein. Also ist

\[
\frac{4 \beta \gamma ^3}{(A-\beta \beta)^2}+\frac{D}{A}=0.
\]

\paragraph{§28}

Weil aber nur das Verh\"altnis der Buchstaben $A$ und $O$ in die Rechnung eingeht, dient die letzte Gleichung f\"ur das Finden des absoluten Wertes von $A$, welchen wir aber wissen nicht n\"otig zu sein. Also werden die Buchstaben $\gamma$ und $\beta$ unbestimmt bleiben. Es werde also festgelegt

\[
\gamma =-Ac \quad \text{und} \quad \beta =Dc;
\]
es wird $\varepsilon \varepsilon =DDcc$ sein oder

\[
\varepsilon =Dc \quad \text{und daher} \quad \delta =Ac, \quad \zeta =-\frac{DDc}{A} \quad \text{und} \quad \alpha =2Ac.
\]
Daher ist das Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{A+2Dx^3}}= \frac{dy}{\sqrt{A+2Dy^3}}
\]
dieses

\[
0=2A+2D(x+y)-A(xx+yy)+2Axy+2Dxy(x+y)-\frac{DD}{A}xxyy.
\]
Dieses Integral ist aber nicht das vollst\"andige, wird aber zu einem solchen gemacht werden, indem $\gamma -A$ und $\beta =Dcc$ gesetzt wird, woher $\varepsilon \varepsilon =DDcc$ und $\varepsilon =Dc$ wird; weiter wird $\delta =A$, $\zeta= -\frac{DD cc}{A}$, $\alpha =2Ac$ sein, so dass das vollst\"andige Integral ist

\[
0=2Ac+2Dcc(x+y)-A(xx+yy)+2Axy+2Dcxy(x+y)-\frac{DDcc}{A}xxyy,
\]
wo $c$ eine vom Belieben abh\"angende Konstante ist; daher wird

\[
y= \frac{Dcc+Ax+Dcxx \pm \sqrt{c\big(2A+\frac{DD}{A}c^3 \big)(A+2Dx^3)}}{A-2Dcx+\frac{DDcc}{A}xx}.
\]

\paragraph{§29}

Hier verdient der Fall angemerkt zu werden, in welchem $A=1$ und $D=\frac{1}{2}$ ist, dass man diese Differentialgleichung hat

\[
\frac{dx}{\sqrt{1+x^3}}= \frac{dy}{\sqrt{1+y^3}},
\]
wo, um die Br\"uche zu beseitigen, $2c$ anstelle von $c$ geschrieben werde, und das vollst\"andige Integral wird dieses sein

\[
0=4c+4cc(x+y)-xx-yy+2xy+2cxy+2cxy(x+y)-ccxxyy
\]
oder

\[
y= \frac{2cc+x+cxx \pm \cdot \sqrt{c(1+c^3)(1+x^3)}}{1-2cx+ccxx}.
\]
So werden also partikul\"are Integrale u. A. diese sein

\begin{alignat*}{9}
& \text{I.} \quad && \text{ist} \quad c=0, \quad y=x;\\[2mm]
& \text{II.} \quad && \text{ist} \quad c=\infty, \quad y=\frac{2 \pm 2\sqrt{1+x^3}}{xx};\\[2mm]
& \text{III.} \quad && \text{ist} \quad c=-1, \quad y=\frac{2+x-xx}{1+2x+xx}=\frac{2-x}{1+x}.
\end{alignat*}

\paragraph{§30}

Aus demselben Prinzip, wenn in § $26$ anstelle der Buchstaben $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ dieselben mit einer gewissen Gr\"o\ss e $p$ multipliziert werden, wird die Differentialgleichung nichtsdestoweniger diese sein

\[
\frac{dx}{\sqrt{A+2Bx+Cxx+2Dx^3+Ex^4}}=\frac{dy}{\sqrt{A+2By+Cyy+2Dy^3+Ey^4}}
\]
und es wird gefunden werden

\[
p=\frac{BB \varepsilon \varepsilon-DD \beta\beta}{BBE-ADD}+2\frac{(AD\varepsilon-BE\beta)(A\varepsilon \varepsilon -E\beta \beta)}{(B\varepsilon-D \beta)(BBE-ADD)}-\frac{C(A \varepsilon \varepsilon -E \beta \beta)}{BBE-ADD};
\]
dann wird sein

\[
\gamma = \frac{A \varepsilon \varepsilon -E \beta \beta}{B \varepsilon -D \beta}, \quad \alpha= \frac{\beta \beta -Ap}{\gamma}, \quad \zeta= \frac{\varepsilon \varepsilon -Ep}{\gamma} \quad \text{und} \quad \delta = \gamma+\frac{\alpha \varepsilon +Bp}{\beta},
\]
so dass die Buchstaben $\beta$ und $\varepsilon$ unbestimmt bleiben, und deshalb wird die vollst\"andige Integralgleichung werden

\[
0=\alpha +2 \beta(x+y)+\gamma(xx+yy)+2 \delta xy+2 \varepsilon xy(x+y)+\zeta xxyy,
\]
woher wird

\[
y= \frac{-\beta -\delta x-\varepsilon xx \pm \sqrt{p(A+2Bx+Cxx+2Dx^3+Ex^4)}}{\gamma + 2 \varepsilon x+\zeta xx}.
\]

\paragraph{§31}

Es ist schlie\ss lich zu bemerken, dass nicht nur diese Differentialgleichung, deren vollst\"andiges Integral ich gerade dargeboten habe, sondern auch diese sich um vieles weiter erstreckende

\[
\frac{mdx}{\sqrt{A+2Bx+Cxx+2Dx^3+Ex^4}}= \frac{ndy}{\sqrt{A+2By+Cyy+2Dy^3+Ey^4}}
\]
immer algebraisch und zwar vollst\"andig integriert werden kann, solange das Verh\"altnis der Koeffizienten $m$ und $n$ rational war; diese Integration wird n\"amlich auf die gleiche Weise durchgef\"uhrt wie wir es oben gemacht haben, um die Gleichung, die mir hier haupts\"achlich vorgelegt war, zu integrieren. Aber die Methode, von welcher ich hier Beispiele angef\"uhrt habe, scheint mir so beschaffen zu sein, dass sie, indem ihre Beschaffenheit sorgf\"altiger untersucht wird, vielerlei Anwendungen finden kann, woher sich  nicht zu verachtende Vorteile f\"ur Analysis ergie\ss en werden.

\paragraph{§32}

Hier bemerke ich aber, dass, indem die in § $26$ angenommene Formel weiter ausgedehnt wird, Differentiale solcher Art miteinander verglichen werden k\"onnen, die ungleich sind, und daher das erw\"ahnte Beispiel f\"ur eine Ungleichheit (§ $22$) auf diese Weise erhalten werden kann, dass alles, was bisher angeben worden ist, in dieser allgemeinen Untersuchung enthalten ist. Es werde nat\"urlich diese Integralgleichung angesetzt

\[
(1) \quad \alpha xxyy+2 \beta xxy+2 \gamma xyy+\delta xx+\varepsilon yy+2 \zeta xy+2 \eta x+2 \theta y +\varkappa =0,
\]
aus welcher wird

\[
(2) \quad y= \frac{-\beta xx- \zeta x-\theta +\sqrt{(\beta xx+\zeta x+\theta)^2-(\alpha xx+2 \gamma x+\varepsilon)( \delta xx +2 \eta x+\varkappa)}}{\alpha xx+2 \gamma x+\varepsilon},
\]
\[
(3) \quad x=\frac{-\gamma yy-\zeta y-\eta -\sqrt{(\gamma yy+\zeta y+\eta)^2-(\alpha yy+2 \beta y+\delta)(\varepsilon yy+2 \theta y+\varkappa)}}{\alpha yy+2 \beta y+\delta}.
\]
Es werde nun der K\"urze wegen festgelegt

\[\setlength{\arraycolsep}{0,7mm}
\begin{array}{rl|rl}
App =&\beta \beta -\alpha p & \mathfrak{A}qq=& \gamma \gamma -\alpha \varepsilon \\
2Bpp =&2 \beta \zeta -2 \alpha \eta -2\gamma \delta & \quad 2 \mathfrak{B}qq =&2 \gamma \zeta -2 \alpha \theta -2 \beta \varepsilon \\
Cpp= & \zeta \zeta +2 \beta \theta -\alpha \varkappa -\delta \varepsilon -4 \gamma \eta \quad & \quad \mathfrak{C}qq =& \zeta \zeta +2 \gamma \eta -\alpha \varkappa -\delta \varepsilon -4 \beta \theta \\
2Dpp =& 2 \zeta \theta -2 \gamma \varkappa -2 \varepsilon \eta & 2 \mathfrak{D}qq =& 2 \zeta \eta -2 \beta \varkappa -2 \delta \theta \\
Epp = &\theta \theta -\varepsilon \varkappa & \mathfrak{E}qq = &\eta \eta - \delta \varkappa
\end{array}
\]
und es wird sein

\[
(4) \quad p\sqrt{Ax^4+2Bx^3+Cxx+2Dx+E}= \alpha xx y+2 \gamma xy+\varepsilon y+\beta xx+\zeta x+\theta,
\]
\[
(5) \quad - q\sqrt{\mathfrak{A}y^4+2 \mathfrak{B}y^3+\mathfrak{C}yy+2\mathfrak{D}y+\mathfrak{E}}= \alpha x yy+2 \beta xy+\delta x+\gamma yy+\zeta y+\eta.
\]

\paragraph{§33}

Aber wenn die angenommene Integralgleichung differenziert wird, wird werden

\begin{alignat*}{9}
& && &&dx(\alpha x yy+2 \beta xy +\gamma yy+\delta x +\zeta y +\eta)\\
&(6) \quad  \\
& &&+&&dy(\alpha xxy+\beta xx+2 \gamma xy+\varepsilon y+\zeta x+\theta)=0,
\end{alignat*}
woher, wenn die aufgefundenen Werte $(4)$ und $(5)$ dieser Produkte eingesetzt werden, diese Differentialgleichung entspringen wird

\[
(7) \quad \frac{qdx}{\sqrt{Ax^4+2Bx^3+Cxx+2Dx+E}}= \frac{pdy}{\sqrt{\mathfrak{A}y^4+2 \mathfrak{B}y^3+\mathfrak{C}yy+2\mathfrak{D}y+\mathfrak{E}}},
\]
deren Integral deshalb die angenommene Gleichung $(1)$ ist.

Weil man aber $10$ Gleichungen hat, aber die Anzahl der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ etc. $9$ ist, von welchen einer nach Belieben angenommen werden kann, werden acht zu bestimmende Buchstaben \"ubrig bleiben. Weiter kommen aber dar\"uber hinaus die zwei zu bestimmenden Buchstaben $p$ und $q$ hinzu, so dass nun zehn unbekannte Gr\"o\ss en vorhanden sind, woher die Koeffizienten jeder der beiden Formeln $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{C}$, $\mathfrak{D}$, $\mathfrak{E}$ angenommen werden k\"onnen scheinen. Aber es ist klar, wenn die einen schon nach Belieben angenommen worden sind, dass die anderen ganz gar nicht von unserem Belieben abh\"angen; ansonsten k\"onnte jede Formel auf eine algebraische zur\"uckgef\"uhrt werden.

\paragraph{§34}

Es k\"onnen aber daher andere nicht unelegante Transformationen der gegebenen Formel erhalten werden, wenn anstelle von $y$ andere Werte eingesetzt werden. Wie wenn beispielsweise $\mathfrak{E}$ oder $\eta \eta =\delta \varkappa$ gesetzt wird und $y=zz$ festgelegt wird, wird die folgende Differentialgleichung hervorgehen

\[
(8) \quad \frac{qdx}{\sqrt{Ax^4+2Bx^3+Cxx+2Dx+E}}= \frac{2pdz}{\sqrt{\mathfrak{A}z^6+2\mathfrak{B}z^4+\mathfrak{C}z^2+2\mathfrak{D}}},
\]
deren Integral deshalb die angenommene Gleichung ist, wenn $y=zz$ gesetzt und $\eta \eta = \delta \varkappa$ festgelegt wird und die \"ubrigen Buchstaben in entsprechender Weise bestimmt werden. Auch das vollst\"andige Integral wird ohne Schwierigkeit aufgefunden werden; denn auch wenn das gefundene Integral unter Umst\"anden keine neue Konstante involviert, werde festgelegt

\[
\frac{qdx}{\sqrt{Ax^4+2Bx^3+Cxx+2Dx+E}}=\frac{qdu}{\sqrt{Au^4+2Bu^3+Cuu+2Du+E}}
\]
und das vollst\"andige Integral dieser Gleichung wird sich mit den vorhergehenden Anmerkungen angeben lassen und daher wird auch das vollst\"andige Integral einer aus ungleichen Formeln bestehenden Gleichung erschlossen werden.

\paragraph{§35}

Wie aber das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung, um von der einfachsten aus zu beginnen,

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gx}}=\frac{dy}{\sqrt{f+gy}}
\]
dieses ist

\[
gg(xx+yy)-2ggxy-2ccg(x+y)+c^4-4ccf=0,
\]
darauf aber das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gxx}}=\frac{dy}{\sqrt{f+gyy}}
\]
dieses ist

\[
xx+yy-2xy \sqrt{1+fgcc}-ccff=0,
\]
drittens das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gx^3}}=\frac{dy}{\sqrt{f+gy^3}}
\]
hingegen dieses ist

\[
f(xx+yy)+\frac{ggcc}{4f}xxyy-gcxy(x+y)-2fxy-gcc(x+y)-2fc=0,
\]
viertens weiter das vollst\"andige Integral dieser Differentialgleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gx^4}}=\frac{dy}{\sqrt{f+gy^4}}
\]
als dieses aufgefunden worden ist

\[
f(xx+yy)-fcc-gccxxyy-2xy \sqrt{f(f+gc^4)}=0,
\]
so wird auch das vollst\"andige Integral dieser Gleichung

\[
\frac{dx}{\sqrt{f+gx^6}}= \frac{dy}{\sqrt{f+gy^6}}
\]
aufgefunden werden k\"onnen.

\paragraph{§36}

Es werden zuerst in § $33$ Werte bestimmt, so dass diese Gleichung hervorgeht

\[
\frac{dx}{\sqrt{fx+gx^4}}=\frac{dy}{\sqrt{fy+gy^4}},
\]
deren vollst\"andiges Integral aufgefunden wird als

\[
gg(xx+yy)-4ggcxxyy-4fgccxy(x+y)-2ggxy-2fgc(x+y)+ffcc=0.
\]
Es werde nun $x=tt$ und $y=uu$ gesetzt, dass diese Differentialgleichung hervorgeht

\[
\frac{dt}{\sqrt{f+gt^6}}=\frac{du}{\sqrt{f+gu^6}},
\]
deren vollst\"andiges Integral deshalb sein wird

\[
gg(t^4+u^4)-4ggct^4u^4-4fgccttuu(tt+uu)-2ggttuu-2fgc(tt+uu)+ffcc=0;
\]
daher verdient der aus der Annahme $c=\infty$ resultierende Fall angemerkt zu werden, der gibt

\[
4gttuu(tt+uu)=f.
\]






\end{document} 